经典力学的几何观点
fengxiaot Lv4
  2022-06-27 10:48:14 2022-06-27 10:48  

本文从拉格朗日力学出发，通过勒让德变换建立了哈密顿力学的几何框架，并阐述了位形流形 MM 与相流形 T∗MT^*M 的对应关系和纤维导数 FL\mathbb{F}L 在变换中的核心作用。希望能为理解经典力学的深层结构有所帮助。


符号约定

由于物理学的惯用符号和微分几何学中的惯用符号有冲突，为避免混淆，我们先作符号约定

物理量 符号 说明
位形流形 MM 力学系统的状态空间
位形流形上的点 qq qi:M→Rq^i:M \to \mathbb{R} 为局部坐标
切向量/广义速度 v=vi∂∂qiv=v^i \frac{\partial}{\partial q^i} viv^i 为切向量在局部坐标架下的分量
余切向量/广义动量 p=pidqip=p_i \mathrm{d}q^i pip_i 为余切向量在局部坐标架下的分量
切丛中的元素 (q,v)∈TM(q,v) \in TM 将 (q,v)(q,v) 的全体与 ⨆p∈MTpM\bigsqcup_{p \in M} T_{p} M 自然认同
余切丛中的元素 (q,p)∈T∗M(q,p) \in T^* M 将 (q,p)(q,p) 的全体与 ⨆p∈MTp∗M\bigsqcup_{p \in M} T_p^* M 自然认同
拉格朗日量 L=L(q,v)L = L(q,v) 拉格朗日量是 TMTM 到 R\mathbb{R} 的映射
哈密顿量 H=H(q,p)H = H(q,p) 哈密顿量是 T∗MT^* M 到 R\mathbb{R} 的映射

拉格朗日力学系统

位形空间 一个力学系统可能处于的所有状态的空间称为位形空间。力学系统的状态可由一系列广义坐标 qiq^i 描述 (i=1,⋯ ,n)(i=1,\cdots,n)，其可视作流形 MM 的局域坐标，因此位形空间也成为位形流形 (configuration manifold) 。位形空间 MM 的维数 n=dim⁡Mn= \dim M 称为力学系统的自由度。

拉格朗日力学系统 设流形 MM 为位形空间，TMTM 为切丛，L:TM→RL:TM \to \mathbb{R} 是切丛上的函数。若力学系统的任一容许轨迹 γ:R→M\gamma: \mathbb{R} \to M 都使泛函

S[γ]=∫t0t1L(γ,γ˙) dtS[\gamma] = \int_{t_0}^{t_1} L(\gamma,\dot{\gamma}) \,\mathrm{d}t

取极值，则称 LL 为拉格朗日量，SS 为作用量，γ\gamma 为拉格朗日力学系统下的运动轨迹[1]。

/* 注：γ˙\dot{\gamma} 为曲线的切矢量，当轨迹确定时，其切矢也自然确定 */

定理：拉格朗日力学系统中的运动轨迹 γ\gamma 遵循拉格朗日方程

∂L∂qi−ddt∂L∂q˙i=0\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} = 0

其中 qiq^i 为广义坐标/局域坐标，q˙i\dot{q}^i 为轨迹切矢 ∂γ∂t\frac{\partial \gamma}{\partial t} 在切空间局域坐标架 ∂∂qi\frac{\partial}{\partial q^i} 上的分量。

需要说明的是，一般切丛 TMTM 上任意一点的局域坐标应当用 MM 上一点的局域坐标 qiq^i 和该点切向量的分量 viv^i 共同描述，拉格朗日函数作为 TMTM 到 R\mathbb{R} 的映射也应当写成 L=L(q1,⋯ ,qn,v1,⋯ ,vn)L = L (q^1, \cdots,q^n,v^1,\cdots,v^n) 。但由于物理中解出的运动轨迹一定是 C∞C^\infty 的，每一点的切向量都应当是真实光滑运动轨迹的切向量 q˙i∂∂qi\dot{q}^i \frac{\partial}{\partial q^i}，而非可随意指定的 vi∂∂qiv^i \frac{\partial}{\partial q^i} 。因此物理中拉格朗日函数便干脆记作 L=L(q1,⋯ ,qn,q˙1,⋯ ,q˙n)L = L (q^1, \cdots,q^n,\dot{q}^1,\cdots,\dot{q}^n) ，但需谨记此式来源于轨迹的光滑性质，一般情况下每点切向量并非是自然选定的。


勒让德变换

勒让德变换的引入

理论力学中引入哈密顿量时，所作的勒让德变换通常写作

H(q,p)=∑piq˙i−L(q,q˙)H(q,p) = \sum p_i \dot{q}^i - L(q,\dot{q})

也就是说，在某一个确定的位置 qq 附近，给定关于 q˙\dot{q} 的函数 LL ，能够唯一地确定 p=∂L∂q˙p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}，从而完成变量替换，构成关于 pp 的函数 HH 。

纤维导数 给定 TMTM 上的函数 L(q,v)L(q,v) ，定义映射 FL:TM→T∗M\mathbb{F}L:TM \to T^*M，且能将纤维 TqMT_q M 映射到同一点的纤维 Tq∗MT_q^*M 之上，规则如下：对于任意 v∈TqMv \in T_q M，规定 vv 在映射 FL\mathbb{F}L 下的像 FL(q,v,⋅)∈Tq∗M\mathbb{F}L(q,v,\cdot) \in T_q^*M 为

FL(q,v,⋅):TqM→Rw↦FL(q,v,w)=ddt∣t=0L(v+tw)\begin{aligned} \mathbb{F}L(q,v,\cdot) : T_qM &\to \mathbb{R} \\ w &\mapsto \mathbb{F}L(q,v,w)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0} L(v+tw) \end{aligned}

其中 w∈TqMw \in T_q M 为任意切矢量，称 FL(q,v,w)\mathbb{F}L(q,v,w) 为 LL 在纤维 TqMT_q M 上 vv 处沿着方向 ww 的纤维导数[2]，因此

FL:TM→T∗M(q,v)↦FL(q,v,⋅)=(q,p)\begin{aligned} \mathbb{F}L:T M &\to T^*M \\ (q,v) &\mapsto \mathbb{F}L(q,v,\cdot)=(q,p) \end{aligned}

/* 注：纤维导数类似于欧氏空间中的方向导数，取 M=RnM=\mathbb{R}^n，则 FL(q,v,w)\mathbb{F}L(q,v,w) 就是 ∂L∂v⋅w\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{w} */

在局部坐标表示下，纤维导数有表达式

FL(q,v,⋅)=(qi,∂L∂vidqi)\mathbb{F}L(q,v,\cdot) = (q^i,\frac{\partial L}{\partial v^i} \mathrm{d}q^i)

若记 pi=∂L∂vip_i=\frac{\partial L}{\partial v^i} ，就得到熟知的广义动量。当 LL 是非退化的拉格朗日函数时，映射 FL\mathbb{F}L 可逆，成为切丛到余切丛的局部微分同胚。

勒让德变换的定义

勒让德变换 若 FL\mathbb{F}L 是微分同胚，则哈密顿量 H:T∗M→RH: T^*M \to \mathbb{R} 定义为：

H(q,p)=p(v)−L(q,v),其中 v=(FL)−1(q,p)H(q, p) = p(v) - L(q, v), \quad \text{其中 } v = (\mathbb{F}L)^{-1}(q, p)

函数 H(q,p)H(q,p) 称为哈密顿量，流形 T∗MT^*M 称为相空间或相流形，力学系统称为哈密顿力学系统。


哈密顿力学系统

辛结构

辛流形 设 NN 是一个偶数维流形，dim⁡N=2n\dim N=2n 。NN 上一个辛结构/辛形式是 NN 上一个闭的非简并的 2-形式场 ω\omega，即

  1. dω=0\mathrm{d}\omega=0
  2. ∀η∈Γ(TN), ω(ξ,η)=0 ∀η⇒ξ=0\forall \eta \in \varGamma(TN),\ \omega(\xi,\eta)=0 \ \forall \eta \Rightarrow \xi=0

赋予了辛结构的流形被称为辛流形。

正则辛形式 在 2n2n 维的一个辛流形 NN 的每个点的一个邻域中，存在局域坐标 (qi,pi)(q^i,p_i) ，其中 i=1,⋯ ,ni=1,\cdots,n ，使得辛结构 ω\omega 可以被表述成正则形式

ω=dpi∧dqi\omega = \mathrm{d} p_i \wedge \mathrm{d} q^i

哈密顿向量场 在辛流形 (T∗M,ω)(T^*M, \omega) 上，每个光滑函数 H:T∗M→RH: T^*M \to \mathbb{R} 都对应一个哈密顿向量场 XHX_H，满足：

ω(XH,⋅)=−dH\omega(X_H, \cdot) = -\mathrm{d}H

在局部坐标 (qi,pi)(q^i, p_i) 下，这等价于哈密顿方程：

q˙i=∂H∂pi,p˙i=−∂H∂qi\dot{q}^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i}

泊松括号

在辛流形上，可以定义泊松括号：

{f,g}=ω(Xf,Xg)=∂f∂qi∂g∂pi−∂f∂pi∂g∂qi\{f, g\} = \omega(X_f, X_g) = \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q^i}

它满足反对称性、莱布尼茨律和雅可比恒等式，使得 C∞(T∗M)C^\infty(T^*M) 成为一个李代数。

联系

在拉格朗日量 LL 是超正则（即 FL\mathbb{F}L 是微分同胚）的条件下，哈密顿方程与拉格朗日方程是等价的。具体来说：

  • 若 γ(t)\gamma(t) 是拉格朗日方程的解，则 (q(t),p(t))=FL(γ(t),γ˙(t))(q(t), p(t)) = \mathbb{F}L(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)) 满足哈密顿方程。
  • 反之，若 (q(t),p(t))(q(t), p(t)) 是哈密顿方程的解，则 γ(t)=π∘(q(t),p(t))\gamma(t) = \pi \circ (q(t), p(t)) 是拉格朗日方程的解，其中 π:T∗M→M\pi: T^*M \to M 是投影。

  1. Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2013. ↩︎

  2. Marsden J E, Ratiu T S. Introduction to Mechanics and Symmetry[J]. 1998. ↩︎