Rotating Frame Transformation

Two-Level Atom Interacting with a Classical Field

Version 1

$Assumptions=ω>0&&t>0&&(Subscript[ω, 0])>0&&Ω>0;
H=(({{(1/2)(Subscript[ω, 0]), (Ω/2)(E^(-I ω t-I ϕ))}, {(Ω/2)(E^(I ω t+I ϕ)), -(1/2)(Subscript[ω, 0])}}));
δ=ω-(Subscript[ω, 0]);
U=(({{(E^(I ω t/2)), 0}, {0, (E^(-I ω t/2))}}));
ℋ=Simplify[U.H.ConjugateTranspose[U]+I D[U,t].ConjugateTranspose[U]];
MatrixForm[ℋ]

Simplify[Eigenvalues[ℋ]]

Version 2

H=(({{(Subscript[ω, 0]), (Ω/2)(E^(-I ω t-I ϕ))}, {(Ω/2)(E^(+I ω t+I ϕ)), 0}}));
δ=ω-(Subscript[ω, 0]);
U=(({{(E^(I ω t)), 0}, {0, 1}}));
ℋ=Simplify[U.H.ConjugateTranspose[U]+I D[U,t].ConjugateTranspose[U]];
MatrixForm[ℋ]

Three-Level Atom Interacting with a Classical Field

$Assumptions=(Subscript[ω, 1])>0&&(Subscript[ω, 2])>0&&t>0&&(Subscript[ω, a])>0&&(Subscript[ω, b])>0&&(Subscript[ω, c])>0&&Δ>0&&(Subscript[Ω, 1])>0&&(Subscript[Ω, 2])>0&&t>0;
(Subscript[ω, b])=(Subscript[ω, a])-Δ-(Subscript[ω, 1]);(Subscript[ω, c])=(Subscript[ω, a])-Δ-(Subscript[ω, 2]);
H=(({{(Subscript[ω, a]), ((Subscript[Ω, 1])/2)(E^(-I (Subscript[ω, 1]) t)), ((Subscript[Ω, 2])/2)(E^(-I (Subscript[ω, 2]) t))}, {((Subscript[Ω, 1])/2)(E^(I (Subscript[ω, 1]) t)), (Subscript[ω, b]), 0}, {((Subscript[Ω, 2])/2)(E^(I (Subscript[ω, 2]) t)), 0, (Subscript[ω, c])}}));U=(E^(I (Subscript[ω, a]) t))(({{1, 0, 0}, {0, (E^(-I (Subscript[ω, 1]) t)), 0}, {0, 0, (E^(-I (Subscript[ω, 2]) t))}}));
ℋ=Simplify[U.H.ConjugateTranspose[U]+I D[U,t].ConjugateTranspose[U]];
MatrixForm[ℋ]

Simplify[Eigenvalues[ℋ]]