计算物理（七）线性代数

本文简要介绍如何使用 NumPy 进行矩阵生成、求解特征值与特征向量。

矩阵生成

数组类

NumPy 提供数组类 ndarray ，其定义为

class numpy.ndarray

ndarray 对象包括以下重要属性

• ndarray.ndim - 数组的维数，例如矩阵的 ndim 为 2 ；
• ndarray.shape - 数组的维度/形状，以整数型元组给出。$n$ 行 $m$ 列矩阵的 shape 为 (n,m) ；
• ndarray.size - 数组的元素个数；
• ndarray.dtype - 数组中元素的数据类型；

数组创建

• numpy.array(array_like_obj, dtype = None) 将列表、元组或其他序列对象，转化并创建为 ndarray 对象；

• numpy.zeros(shape, dtype = None) 接收数组维度 (shape tuple)，并创建全 0 数组，例如 $2\times 2$ 零矩阵 np.zeros((2,2))；

• numpy.eye(N, M = None, k = 0) 创建 $N$ 行 $M$ 列 ( $M$ 默认等于 $N$ ) 单位对角矩阵，对角元上移 $k$ 个元素；

• numpy.full(shape, fill_value, dtype = None) 接收数组维度创建数组，并将 fill_value 赋给数组的每个元素；

• numpy.zeros_like(array_like_obj) 创建一个形状和数据类型与 array_like_obj 均相同的全零数组

• numpy.arange(start, stop, step, dtype) 生成区间 [start, stop) ，步长为 step 的数组

• numpy.linspace(start, stop, num = 50, endpoint = True) 生成 [start, stop]，样本数量为 num，按照 endpoint 为 True/False 包含/不包含 stop point 的数组，参见以下示例

特征值与特征向量

对于方阵 $A$，若存在标量 $\lambda$ 和非零向量 $\mathbf{v}$ 使得

$$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

标准特征值问题

一般方阵（可能是非对称、复矩阵）的特征分解使用 numpy.linalg.eig()

A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)

eigvals 为特征值数组，形状为 (n,)，eigvecs 为特征向量矩阵，每一列为一个归一化的特征向量，形状为 (n, n)。

以上代码输出

Eigenvalues: [3. 1.]
Eigenvectors:
 [[ 0.707  -0.707]
  [ 0.707   0.707]]

其中第一个特征值为 $\lambda_1=3$ ，对应的特征向量为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T$；第二个特征值为 $\lambda_2=1$，对应的特征向量为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)^T$。

对称矩阵的特征值问题

对于实对称矩阵或厄米矩阵，更推荐使用 numpy.linalg.eigh()

A = np.array([[4, 1],
              [1, 3]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(A)

返回的特征值有序，默认从小到大。